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空集是任何集合的子集对吗

  • 2024-10-02 00:00:08
导读 空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。接下来给大家分享具体的内容,供参考。空集是任何集合的子集...

空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。接下来给大家分享具体的内容,供参考。

空集是任何集合的子集吗

空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。空集不是无;它是内部没有元素的集合。用符号Ø或者{ }表示。

0是一个数,不是集合;{0}是一个集合,集合只有0这个元素;Ø是一个集合,但是不含任何元素;{Ø}是一个非空集合,集合只有空集这个元素。

当两圆相离时,它们的公共点所组成的集合就是空集;当一元二次方程的根的判别式值△<0时,它的实数根所组成的集合也是空集。

空集的性质

对任意集合A,空集是A的子集:∀A:Ø⊆A;

对任意集合A,空集和A的并集为A:∀A:A∪Ø=A;

对任意非空集合A,空集是A的真子集:∀A,,,若A≠Ø,则Ø真包含于A。

对任意集合A,空集和A的交集为空集:∀A,A∩Ø=Ø;

对任意集合A,空集和A的笛卡尔积为空集:∀A,A×Ø=Ø;

空集的唯一子集是空集本身:∀A,若A⊆Ø⊆A,则A=Ø;∀A,若A=Ø,则A⊆Ø⊆A。

空集的元素个数(即它的势)为零;

特别的,空集是有限的:|Ø|=0;

对于全集,空集的补集为全集:CUØ=U。

子集的定义

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意a∈A则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆B或B⊇A,读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。即:∀a∈A有a∈B,则A⊆B。

如果集合A是B的子集,且A≠B,即B中至少有一个元素不属于A,那么A就是B的真子集,可记作:A⊊B。符号语言:若∀a∈A,均有a∈B,且x∈B使x∉A,则A⊊B。

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