【偏导数的运算公式大全】在多元函数的微积分中，偏导数是一个重要的概念，用于描述函数在某一变量方向上的变化率。掌握偏导数的运算规则和公式，对于学习高等数学、物理、工程等学科具有重要意义。以下是对常见偏导数运算公式的总结，并以表格形式进行归纳。
一、基本定义
设函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处可偏导，则：
- 对 $ x $ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}
$$
- 对 $ y $ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}
$$
二、基本运算规则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 常数法则 | $ \frac{\partial}{\partial x}(c) = 0 $ | 常数对任意变量的偏导数为零 |
| 可加性 | $ \frac{\partial}{\partial x}(u + v) = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial x} $ | 函数和的偏导等于各自偏导之和 |
| 数乘法则 | $ \frac{\partial}{\partial x}(cu) = c\frac{\partial u}{\partial x} $ | 常数与函数乘积的偏导为常数乘以偏导 |
| 乘积法则 | $ \frac{\partial}{\partial x}(uv) = u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial x} $ | 类似于单变量中的乘积法则 |
| 商法则 | $ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{\partial u}{\partial x} - u\frac{\partial v}{\partial x}}{v^2} $ | 分子分母的偏导组合 |
| 链式法则 | $ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} $ | 当 $ z = f(u,v) $，且 $ u=u(x), v=v(x) $ 时 |
三、常见函数的偏导数
| 函数形式 | 对 $ x $ 的偏导 | 对 $ y $ 的偏导 |
| $ f(x,y) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ | $ 0 $ |
| $ f(x,y) = y^n $ | $ 0 $ | $ ny^{n-1} $ |
| $ f(x,y) = e^{x+y} $ | $ e^{x+y} $ | $ e^{x+y} $ |
| $ f(x,y) = \ln(x+y) $ | $ \frac{1}{x+y} $ | $ \frac{1}{x+y} $ |
| $ f(x,y) = \sin(x+y) $ | $ \cos(x+y) $ | $ \cos(x+y) $ |
| $ f(x,y) = \cos(x+y) $ | $ -\sin(x+y) $ | $ -\sin(x+y) $ |
| $ f(x,y) = \tan(xy) $ | $ y\sec^2(xy) $ | $ x\sec^2(xy) $ |
四、高阶偏导数
若函数 $ f(x, y) $ 二阶可导，则其二阶偏导数包括：
- $ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} $
- $ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $
- $ f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $
- $ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} $
注意：在大多数连续函数中，混合偏导数满足：
$$
f_{xy} = f_{yx}
$$
五、全微分与偏导数的关系
设 $ z = f(x, y) $，则其全微分为：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
六、小结
偏导数是研究多元函数局部变化率的重要工具，它在物理、工程、经济等领域有广泛应用。掌握上述公式和规则，有助于快速求解复杂函数的偏导问题。建议结合实际例子进行练习，加深理解。
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