【积分敛散性判别口诀】在数学分析中，判断积分的收敛性是一个重要的问题。尤其在处理广义积分（即无穷积分或无界函数的积分）时，如何快速判断其是否收敛，往往需要一些实用的方法和技巧。为了帮助记忆和理解，我们总结出一套“积分敛散性判别口诀”，并结合常见方法进行说明。
一、积分敛散性判别口诀
1. 无穷积分看极限，收敛与否靠比较。
2. 被积函数若可比，相似形式好判断。
3. 无穷大处要小心，趋近于零才放心。
4. 单调递减不回头，积分判别法来救。
5. 级数与积分相联系，转化方法是关键。
二、常见判别方法及适用条件
| 方法名称 | 适用对象 | 判别依据 | 优点 | 缺点 |
| 比较判别法 | 正项函数积分 | 被积函数与已知收敛或发散的函数比较 | 简单直观 | 需要找合适的比较函数 |
| 极限比较判别法 | 正项函数积分 | 当 $ f(x) \sim g(x) $ 时，积分收敛性一致 | 更灵活 | 需要确定函数的渐进行为 |
| 积分判别法 | 单调递减正项函数 | 若 $ \sum a_n $ 收敛，则 $ \int_a^\infty f(x) dx $ 收敛 | 适用于级数与积分互化 | 仅适用于单调递减函数 |
| Cauchy 判别法 | 幂函数型积分 | 如 $ \int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx $ | 直接判断幂指数 | 仅适用于特定形式 |
| Dirichlet 判别法 | 含三角函数的积分 | 适用于振荡函数乘以单调递减函数 | 处理复杂函数有效 | 条件较严格 |
三、典型例子解析
1. 例1：$ \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx $
- 分析：这是典型的 $ p $-积分，其中 $ p = 2 > 1 $，根据 Cauchy 判别法，该积分收敛。
- 结论：收敛。
2. 例2：$ \int_1^\infty \frac{\sin x}{x} dx $
- 分析：使用 Dirichlet 判别法，因 $ \sin x $ 是有界振荡函数，$ \frac{1}{x} $ 单调递减趋于零，故积分收敛。
- 结论：收敛。
3. 例3：$ \int_1^\infty \frac{1}{x} dx $
- 分析：这是 $ p = 1 $ 的 $ p $-积分，根据 Cauchy 判别法，该积分发散。
- 结论：发散。
四、总结
积分敛散性的判断方法多样，但核心在于对被积函数的行为进行分析，并结合已知的收敛性标准进行比较或转化。掌握这些判别方法和口诀，可以帮助我们在实际应用中更高效地判断积分的收敛性，避免盲目计算。
通过理解“积分敛散性判别口诀”与具体方法的结合，可以更系统地应对各类积分问题，提升解题效率与准确性。
