【牛顿环的曲率半径怎么算】在光学实验中，牛顿环是一种常见的干涉现象，常用于测量透镜的曲率半径。牛顿环是由一个平凸透镜与一个平面玻璃板接触时，在两者之间形成的空气薄膜所产生的等厚干涉条纹。通过观察这些条纹的分布，可以计算出透镜的曲率半径。
一、牛顿环的基本原理
当单色光垂直照射到牛顿环装置上时，光线在空气薄膜的上下表面发生反射，形成两束相干光。这两束光在相遇时产生干涉，形成明暗相间的同心圆环，称为牛顿环。
牛顿环的直径与透镜的曲率半径有关，因此可以通过测量不同环的直径来计算曲率半径。
二、牛顿环的曲率半径公式
牛顿环的直径 $ D_n $ 与第 $ n $ 级干涉环的半径 $ r_n $ 之间的关系为：
$$
D_n = 2r_n
$$
根据干涉条件，第 $ n $ 级暗环（或亮环）对应的光程差满足：
$$
2d_n + \frac{\lambda}{2} = n\lambda
$$
其中：
- $ d_n $ 是第 $ n $ 环处空气膜的厚度；
- $ \lambda $ 是入射光的波长；
- $ n $ 是干涉级数。
由于 $ d_n = \frac{r_n^2}{R} $，代入后可得：
$$
2\left(\frac{r_n^2}{R}\right) + \frac{\lambda}{2} = n\lambda
$$
整理得：
$$
\frac{2r_n^2}{R} = \left(n - \frac{1}{2}\right)\lambda
$$
解出 $ R $ 得：
$$
R = \frac{2r_n^2}{\left(n - \frac{1}{2}\right)\lambda}
$$
由于 $ D_n = 2r_n $，所以：
$$
R = \frac{D_n^2}{4\left(n - \frac{1}{2}\right)\lambda}
$$
三、实验步骤与数据记录
在实际实验中，通常会测量多个牛顿环的直径，并利用上述公式计算曲率半径。以下是典型实验数据示例：
| 环号 $ n $ | 直径 $ D_n $ (mm) | 半径 $ r_n $ (mm) | 计算公式 | 曲率半径 $ R $ (m) |
| 5 | 6.2 | 3.1 | $ \frac{(6.2)^2}{4(5 - 0.5)\lambda} $ | 1.82 |
| 10 | 8.9 | 4.45 | $ \frac{(8.9)^2}{4(10 - 0.5)\lambda} $ | 1.79 |
| 15 | 11.3 | 5.65 | $ \frac{(11.3)^2}{4(15 - 0.5)\lambda} $ | 1.80 |
> 注：假设入射光波长 $ \lambda = 589 \, \text{nm} = 5.89 \times 10^{-7} \, \text{m} $
四、结论
牛顿环的曲率半径可以通过测量不同环的直径并代入干涉公式进行计算。实验中需注意准确测量直径，并选择合适的干涉级数以提高精度。通过多组数据取平均值，可以有效降低误差，获得更可靠的曲率半径结果。
总结：
牛顿环的曲率半径可通过测量其直径并结合干涉公式计算得出。实验操作简单，但需注意数据的精确性与公式的正确应用。
