【大一高数公式定理总结】在大学一年级的高等数学课程中，学生需要掌握一系列基础的数学公式与定理。这些内容不仅是后续学习的基础，也是解决实际问题的重要工具。本文将对大一高数中的主要公式和定理进行系统总结，便于复习和查阅。
一、函数与极限
| 知识点 | 公式/定理 | 说明 |
| 极限定义 | $\lim_{x \to a} f(x) = L$ | 当 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数值趋近于 $L$ |
| 无穷小量 | 若 $\lim_{x \to a} f(x) = 0$，则称 $f(x)$ 是 $x \to a$ 时的无穷小量 | 无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量 |
| 极限运算法则 | $\lim (f(x) \pm g(x)) = \lim f(x) \pm \lim g(x)$ $\lim (f(x) \cdot g(x)) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$ $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$（若分母不为零） | 适用于有限极限的情况 |
| 重要极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 常用于求解复杂极限 |
二、导数与微分
| 知识点 | 公式/定理 | 说明 |
| 导数定义 | $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ | 表示函数在某一点的变化率 |
| 基本导数公式 | $(x^n)' = nx^{n-1}$ $(\sin x)' = \cos x$ $(\cos x)' = -\sin x$ $(e^x)' = e^x$ $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ | 常用初等函数的导数 |
| 求导法则 | $(u \pm v)' = u' \pm v'$ $(uv)' = u'v + uv'$ $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ $(u(v))' = u'(v) \cdot v'$（链式法则） | 复合函数与乘积、商的求导方法 |
| 微分形式 | $dy = f'(x)dx$ | 微分是导数的一种表达方式 |
三、积分
| 知识点 | 公式/定理 | 说明 | ||
| 不定积分 | $\int f(x) dx = F(x) + C$，其中 $F'(x) = f(x)$ | 积分是导数的逆运算 | ||
| 基本积分公式 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$） $\int \sin x dx = -\cos x + C$ $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ | 常见函数的不定积分 |
| 定积分 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，其中 $F$ 是 $f$ 的一个原函数 | 表示函数在区间上的累积值 | ||
| 积分换元法 | $\int f(u(x)) u'(x) dx = \int f(u) du$ | 通过变量替换简化积分过程 | ||
| 分部积分法 | $\int u dv = uv - \int v du$ | 用于处理乘积形式的积分 |
四、微分方程初步
| 知识点 | 公式/定理 | 说明 |
| 一阶线性微分方程 | $y' + P(x)y = Q(x)$ | 可使用积分因子法求解 |
| 可分离变量方程 | $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ | 可写成 $\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$ 后积分 |
| 齐次方程 | $\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$ | 令 $v = \frac{y}{x}$ 进行变量替换 |
| 二阶常系数齐次微分方程 | $ay'' + by' + cy = 0$ | 特征方程为 $ar^2 + br + c = 0$，根据根的不同情况求通解 |
五、级数与泰勒展开
| 知识点 | 公式/定理 | 说明 | ||
| 等比级数 | $\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1 - r}$（当 $ | r | < 1$） | 收敛条件为公比绝对值小于1 |
| 泰勒级数 | $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ | 在某点 $a$ 附近展开函数 | ||
| 麦克劳林级数 | $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ | 泰勒级数在 $a = 0$ 时的形式 | ||
| 常见函数的泰勒展开 | $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | 常用函数的幂级数展开形式 |
六、多元函数微积分简介
| 知识点 | 公式/定理 | 说明 |
| 偏导数 | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | 对某一变量求导，其他变量视为常数 |
| 全微分 | $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$ | 多元函数的微分形式 |
| 二阶偏导数 | $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$（若连续） | 混合偏导数相等 |
| 二重积分 | $\iint_D f(x,y) dA$ | 表示函数在二维区域上的积分 |
总结
大一高数内容广泛，涵盖了函数、极限、导数、积分、微分方程以及多元函数等多个方面。掌握这些基本概念和公式，不仅有助于考试，也为后续学习打下坚实的基础。建议结合教材与练习题反复巩固，逐步提升对数学的理解与应用能力。
